Алексей Зубков родился 27 марта 1975 года в украинской столице. Оба родителя Леши были военными, которые посвятили жизнь военно-морскому флоту. Первые 14 лет своей жизни мальчик провел в Мурманске, после чего вышедшие на пенсию родители вернулись в родной Киев.
Леша рос всесторонне развитым ребенком. Он учился в исторической гимназии и музыкальной школе одновременно, ездил с классом на археологические раскопки и играл на трубе и гитаре. Тем не менее в детстве Леша мечтал пойти по стопам родителей и стать моряком. Он пытался сделать первый шаг в этом направлении в качестве кадета Суворовского и Нахимовского училищ, но из-за плохого зрения его не взяли.
После школы Алексей стал студентом Киевского национального университета телевидения, кино и театра имени Карпенко-Карого. Разочаровавшись в учебе, он ушел после третьего курса и четыре года работал охранником. Но через какое-то время понял, что мечты об актерской профессии вновь завладели его сознанием.
В 2001 году Алексей все-таки получил диплом и стал актером Национального академического театра драмы им. И. Франко. Через год он впервые появился и на экранах – в известном украинском сериале «Критическое состояние», рассказывающем о пациентах клиники, которые превратились в мутантов. После участия еще в ряде телепроектов Зубкова заметили и российские режиссеры. Алексей Козлов предложил ему роль в сериале «Прииск», которая принесла Зубкову всероссийскую узнаваемость и надолго стала его визитной карточкой.
Алексей женат на актрисе Татьяне Шляховой, в 2002 году она родила ему дочь.